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        三角函數(shù)公式大全

        來源:中考網(wǎng)整理        2010-06-25 12:16:35

        [標(biāo)簽:三角函數(shù) 公式 數(shù)學(xué)公式]下載試卷

          銳角三角函數(shù)公式

          sin α=∠α的對邊 / 斜邊

          cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

          tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

          cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

          倍角公式

          Sin2A=2SinA*CosA

          Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

          tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

         。ㄗⅲ篠inA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

          三倍角公式

          sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

          cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

          tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

          三倍角公式推導(dǎo)

          sin3a

          =sin(2a+a)

          =sin2acosa+cos2asina

          輔助角公式

          Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

          sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

          cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

          tant=B/A

          Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

          降冪公式

          sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

          cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

          tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

          推導(dǎo)公式

          tanα+cotα=2/sin2α

          tanα-cotα=-2cot2α

          1+cos2α=2cos^2α

          1-cos2α=2sin^2α

          1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

          =2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina

          =3sina-4sin&sup3;a

          cos3a

          =cos(2a+a)

          =cos2acosa-sin2asina

          =(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-sin&sup2;a)cosa

          =4cos&sup3;a-3cosa

          sin3a=3sina-4sin&sup3;a

          =4sina(3/4-sin&sup2;a)

          =4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a]

          =4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a)

          =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

          =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

          =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

          cos3a=4cos&sup3;a-3cosa

          =4cosa(cos&sup2;a-3/4)

          =4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;]

          =4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°)

          =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

          =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

          =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

          =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

          =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

          =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

          上述兩式相比可得

          tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

          半角公式

          tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

          cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

          sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

          cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

          tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

          三角和

          sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

          cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

          tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

          兩角和差

          cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

          cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

          sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

          tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

          tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

          和差化積

          sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

          sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

          cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

          cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

          tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

          tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

          積化和差

          sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

          cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

          sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

          cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

          誘導(dǎo)公式

          sin(-α) = -sinα

          cos(-α) = cosα

          tan (—a)=-tanα

          sin(π/2-α) = cosα

          cos(π/2-α) = sinα

          sin(π/2+α) = cosα

          cos(π/2+α) = -sinα

          sin(π-α) = sinα

          cos(π-α) = -cosα

          sin(π+α) = -sinα

          cos(π+α) = -cosα

          tanA= sinA/cosA

          tan(π/2+α)=-cotα

          tan(π/2-α)=cotα

          tan(π-α)=-tanα

          tan(π+α)=tanα

          誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

          萬能公式

          sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

          cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

          tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

          其它公式

          (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

          (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

          (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

          證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

          (4)對于任意非直角三角形,總有

          tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

          證:

          A+B=π-C

          tan(A+B)=tan(π-C)

          (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

          整理可得

          tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

          得證

          同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立

          由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

          (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

          (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

          (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

          (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

          (9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

          cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

          sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

          tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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