2023年初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)基本概念和圖像上特殊點(diǎn)

以下是其基本概念和圖像上特殊點(diǎn)。

常見三種形式。

1. 一般式： $y=a{x}^2+bx+c$
2. 頂點(diǎn)式： $y=a（x-h{）}^2+k$
3. 兩根式： $y=a（x-x_1)(x-x_2)$

（其中兩根式當(dāng)二次函數(shù)和x軸沒有交點(diǎn)的時候不存在，此時可以采用更為一般的 對稱點(diǎn)式$y=a（x-x_1)(x-x_2)+m$ ，相當(dāng)于函數(shù) $y=a（x-x_1)(x-x_2)$ 和直線y=m的兩個交點(diǎn)，m為足夠大的數(shù)）

其中出現(xiàn)過的字母有

a：二次項(xiàng)系數(shù)，在三個表達(dá)式中都出現(xiàn)過。代表開口大小。

b：一般式的一次項(xiàng)系數(shù)。

c：常數(shù)項(xiàng)系數(shù)

h：頂點(diǎn)式中頂點(diǎn)x坐標(biāo)

k：頂點(diǎn)式中頂點(diǎn)y坐標(biāo)

（此處會注意到為什么h前面是有負(fù)號，而k前面沒有，如有疑惑，請看下面鏈接）

yi zhang：初中數(shù)學(xué)--函數(shù)平移為什么是左加右減，上加下減97 贊同 · 16 評論文章

x_1: 兩根式其中一個根

x_2：兩根式其中另一個根

以下我以開口向上且和x軸有兩個根的二次函數(shù)為例，介紹下三個表達(dá)式的聯(lián)系以及適用范圍。

如下圖為例子：

（實(shí)際函數(shù)為一般式： $y=x^2-4x+3$ 或者寫成頂點(diǎn)式： $y=(x-2{)}^2-1$ 兩根式: $y=(x-1)(x-3)$ )

我們先認(rèn)為 

那么可以得到幾個點(diǎn)的坐標(biāo)。

$A=(x_1,0)$

$B=(x_2,0)$

$C=(0,c)$

$F=(0,h)$

$G=(h,k)$

在此可以注意到，

1. 三個式子里面都有a。

2. b未出現(xiàn)，c是和y軸交點(diǎn)坐標(biāo)屬于一般式的。

3. h，k是屬于頂點(diǎn)式的。（h，k）就是頂點(diǎn)坐標(biāo)。

4. $x_1,x_2$ 是屬于兩根式的。分別是和x軸的兩個交點(diǎn)。

但既然同一個二次函數(shù)可以用三種方式來表達(dá)。那么很顯然，三者之間必定存在關(guān)系，以及能夠相互轉(zhuǎn)化。

（其實(shí)上面說法不準(zhǔn)確，對于和x軸沒有交點(diǎn)的無法采用兩根式）

1. 一般式和頂點(diǎn)式

將一般式化成頂點(diǎn)式（這是任何情況下都成立的）

$y=a{x}^2+bx+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{b}{2a}{)}^2)+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2)-a(\frac{b}{2a}{)}^2+c$

$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-a(\frac{b}{2a}{)}^2+c$

$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

通過對比 $y=a（x-h{）}^2+k$ 可以發(fā)現(xiàn)

$h=-\frac{b}{2a}$

$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

2. 一般式和兩根式

由， $y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

令y=0

就能得到一元二次方程的求根公式

$0=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

$0=(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}$

$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_1,x_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

按照前面的預(yù)設(shè) $x_1<x_2$

那么 $x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

通過簡單的加減就能得到

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_2-x_1=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

(其中1，3式就是韋達(dá)定理）

或者將 $y=a（x-x_1)(x-x_2)$ 開括號

$y=a{x}^2-a（x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$

也能對比出

$b=-a(x_1+x_2)$

$c=a{x}_1{x}_2$

3. 頂點(diǎn)式和兩根式

從上面的$b=-a(x_1+x_2)$以及 $h=-\frac{b}{2a}$

可以看出， $h=\frac{x_1+x_2}{2}$

當(dāng)然也可以直觀的從函數(shù)圖形上得到。

二次函數(shù)的對稱軸就是 $x_1,x_2$ 連線的中點(diǎn)。

接下來對于頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就并不那么直觀了。

從代數(shù)上，我們觀察下面兩個式子。

$x_2-x_1=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

能夠發(fā)現(xiàn) $k=-\frac{a(x_2-x_1{)}^2}{4}$

也就是k等于a/4*兩根之間距離的平方的相反數(shù)。

我們也可以從幾何上直觀的看出來

還是以$y=x^2-4x+3$為例，

顯然任意一個根到對稱軸的距離為 $\frac{x_2-x_1}{2}$ ，因?yàn)閽佄锞�任意平移形狀不變。也就是我可以將任意拋物線平移后得到形如 $y=a{x}^2$ ，例如 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ ,

橫縱坐標(biāo)保持著，縱坐標(biāo)=1/2*橫坐標(biāo)的平方關(guān)系

而其實(shí)這種平方關(guān)系存在于任意的拋物線，只要是對稱軸上點(diǎn)就有的性質(zhì)，即使和x軸沒有交點(diǎn)，取一個盡可能大的數(shù)值，總能和拋物線相交兩點(diǎn)。

我在對稱軸上取一點(diǎn)H （對于這開口向上的拋物線，H點(diǎn)要在頂點(diǎn)上方）過H做直線平行x軸，交拋物線于D，E兩點(diǎn)。

任意移動H點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn) $HG\equiv E{H}^2$

在來一個 $a\ne 1$ 的二次函數(shù)試下。

比如 $y=\frac{1}{3}{x}^2+5x+7$

當(dāng)BD=8.44時候，DC=23.75=8.44*8.44/3

當(dāng)BD=5.24時候，DC=9.14=5.24*5.24/3

上述總結(jié)，對于任意拋物線來說，拋物線上點(diǎn)的到對稱軸的距離的平分*a=這個點(diǎn)和頂點(diǎn)之間的縱坐標(biāo)之差。

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