2023年初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)的定義

注意：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)a必須是非零實(shí)數(shù)，即a≠0，而b，c是任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)整式;

(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù);

(3)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù);

(4)一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)，要化簡(jiǎn)整理后，對(duì)照定義才能下結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡(jiǎn)后變?yōu)閥=x，故它不是二次函數(shù)。

二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

3二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c

其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交點(diǎn)式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的拋物線]

其中x1，2= -b±√b^2-4ac

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k

[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2a= (x₁+x₂)/2 k=(4ac-b^2)/4a 與x軸交點(diǎn)：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

4二次函數(shù)的平移規(guī)律口訣

加左減右，加上減下。

意思就是當(dāng)二次函數(shù)寫成下面這個(gè)樣子時(shí)：

y=a(x+b)²+c，只要將y=ax²的函數(shù)圖像按以下規(guī)律平移。

(1)b>0時(shí)，圖像向左平移b個(gè)單位(加左)。

(2)b<0時(shí)，圖像向右平移b個(gè)單位(減右)。

(3)c>0時(shí)，圖像向上平移c個(gè)單位(加上)。

(4)c<0時(shí)，圖像向下平移c個(gè)單位(減下)。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。

常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

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